Analyse des données spatiales |
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Analyse des données spatiales Modèles prédictifs en analyse de données spatiales pour la cartographie du risque de glissements de terrain
Historique des modèles prédictifs à la CGC |
1972: Agterberg, F.P. et al., Prediction models for locating undiscovered copper deposits.
1977-1980: Chung C.F.,
Développement du SIMSAG (système graphique interactif), Terminal CDC 6400 + Tektronix 4014, nombre maximum de pixels : 100 x 100 (en pratique)
1990: Agterberg, F.P. and Bonham-Carter G.F. (eds.), GSC paper 89-9, Statistical Applications in the Earth Sciences
1992 - 1997: Spatial Data Analysis Laboratory. Développement du Système d'intégration de données spatiales SGI, Windows NT/95/98/3.1, nombre maximum de pixels : 4000 x 4000 (en pratique)
Idée fondamentale : Approche basée sur les fonctions de favorabilité |
À chaque pixel, p :
ƒ(Tp: pour les m facteurs causaux vk(p)=1 . . . m)
Tp: (p sera touché par un futur glissement de terrain de type D)
en supposant que les facteurs causaux en p constituent la fonction de probabilité conditionnelle conjointe
"sûreté" : probabilité, certitude, croyance, plausibilité, possibilité ...
Les cadres mathématiques
Les trois cadres mathématiques sur lesquels s'appuient les modèles sont les suivants :
- Théorie des probabilités
- Probabilité conditionnelle conjointe
Mesure de la "sûreté" de la proposition Tp: (p sera touché par un futur glissement de terrain de type D),
en supposant que les facteurs causaux) is true, given the m causal factors (vk(p)=1 . . . m) is assumed to be the joint conditional probability function
en p constituent la fonction de probabilité conditionnelle conjointe
f(Fp|c1,c2,...,cm) = Prob(Fp|c1,c2,...,cm)
représente le risque en p, en tenant compte de l'information au niveau du pixel pour
p:(c1, c2,...,cm)
F: la superficie inconnue qui sera touchée par de futurs glissements de terrain
Θ: l'ensemble des pixels pour lesquels les valeurs sont (c1, c2,...,cm)
Probabilité à priori : représentant le risque en p si aucune information au niveau du pixel n'est disponible en p
(taille de (F∩A) /taille de A)
où A représente l'ensemble de la région d'étude.
Le pixel p présente un risque :
Prob{Fp|c1,c2,...,cm} >> Prob{Fp}
Le pixel p ne présente aucun risque :
Prob{Fp|c1,c2,...,cm} << Prob{Fp}
- Le rapport des vraisemblances
Le rapport des vraisemblances en pest défini comme suit :
λ =Prob{c1,c2,...,cm|Fp}/
Prob{c1,c2,...,cm|notFp}
=1-Prob{Fp} / Prob{Fp}
* Prob{Fp|c1,c2,...,cm}/
1- Prob{Fp|c1,c2,...,cm}
- Monotone functions of the likelihood ratio function
- La fonction de pondération de l'information probante
model par Peirce (1878) et Good (1950,1960, and 1976) (voir aussi Spiegelhalter, 1986; Agterber et al, 1990; Bonham_Carter et al. 1989).
WoE{Fp|c1,c2,...,cm} = logeλ
- la fonction du facteur de certitude
model par Shortliffe and Buchanan (1975:MYCIN), Heckerman (1986), Pearl(1988) et Chung and Fabbri (1990)
CF{Fp|c1,c2,...,cm} = λ -1 / λ -1
- Comparaison des fonctions en deux pixels :
Soit (c1, c2,...,cm) les m valeurs de pixel en p
Soit (c1, c2,...,cm) les m valeurs de pixel en q
If Prob{Fp} <=Prob{Fq} Then λ(p)<=λ(p)
Le "risque" relatif pour les pixels est le même quelles que soient les mesures utilisées pour l'étude.
- Théorie de l'information probante de Dempster-Shafer
- les fonctions du croyance and de la plausibilté
- Théorie des ensembles flous de Zadeh
- La fonction d'appartenance floue
Sp: "p a par le passé été touché par un glissement de terrain d'un type donné"
Prob{Sp|c1,c2,...,cm}= taille de S
Θ / taille de Θ
Prob{Sp}=taille de S / taille de A
où Sreprésente les zones touchées par des glissements passés.
Prob(Fp|c1,c2,...,cm) = Prob(Sp|c1,c2,...,cm)
λD = Prob{c1,c2,...,cm|Sp} /
Prob{c1,c2,...,cm|notSp}
=1-Prob{Sp} / Prob{Sp} *
Prob{Sp|c1,c2,...,cm} /
1- Prob{Sp|c1,c2,...,cm}
CFD{Fp|c1,c2,...,cm}
=λ -1 / λ -1
WoED{Fp|c1,c2,...,cm} = logeλ
L'ordre est conservé. Les estimateurs sont simples à calculer et n'exigent aucune hypothèse mathématique.
Ils aboutissent à un échec lamentable comme agents de prédiction de l'occurrence de futurs glissements.
Ils ne devraient être calculés qu'à titre de repères pour le rendement des données spatiales utilisées comme facteurs causaux des glissements.
Prob{Fp|c1,c2,...,cm}=
Prob{Fp}Prob{c1,c2,...,cm|Fp}
/ Prob{c1,c2,...,cm}
Hypothèse de l'indépendance conditionnelle pour une Fp donnée
Prob{c1,c2,...,cm|Fp}
=Prob{c1|Fp}Prob{c2|Fp}
...Prob{cm|Fp}
Prob{Fp|c1,c2,...,cm}
=(Prob{c1|Fp}...Prob{cm|Fp}
/ Prob{Fp|c1,c2,...,cm})
Prob{F}(Prob{Fp|c1} / Prob{F})...
(Prob{Fp|cm} / Prob{F})
Prob{c1,c2,...,cm}= taille de Θ / taille de A,
Prob{ck}= taille de Akck / taille de A,
Prob{Fp|ck} = taille de F ∩ taille de Akck / taille de A,
Prob{Sp|ck} =taille deS∩ taille de Akck / taille de A,
Prob{Sp} =taille deS / taille de A
Estimation bayésienne en chacun des pixels p:
Prob{Fp|c1,c2,...,cm}
=(Prob{c1|Sp}...Prob{cm|Sp}
/ Prob{Sp|c1,c2,...,cm})
Prob{S}(Prob{Sp|c1} / Prob{Sp})...
(Prob{Sp|cm} / Prob{Sp})
Le rapport des vraisemblances devient :
λ = λ1 ... λm
λ1 =Prob{c1|Fp} / Prob{c1|notFp}
=Prob{Fp|c1}(1-Prob{Fp}
/ Prob{Fp}(1-Prob{Fp|c1}
λ' = λ'1 ... λ'm
λ'k =Prob{ck|Sp} / Prob{ck|notSp}
=Prob{Sp|ck}(1-Prob{Sp}
/ Prob{Sp}(1-Prob{Sp|ck}
CF2={Fp|c1,c2,...,cm}=(λ' - 1) / (λ' + 1)
WOE2={Fp|c1,c2,...,cm}=logeλ'
L'avantage de cet estimateur est qu'il ne dépend que des probabilités
conditionnelles à deux variables de l'occurrence de glissements de terrain
passés pour des valeurs de pixel données en chaque couche séparément.
Le prix à payer pour cet avantage est cependant l'hypothèse de l'indépendance conditionnelle.
- Robustesse en fonction du temps
Séparer les occurrences en deux intervalles - "passé" et "futur", élaborer
le modèle prédictif à l'aide des occurrences de tremblements de terre "passés",
puis valider les résultats d'après les occurrences "futures".
We select a year so that approximately half the events occur during or before it.
We pretend that year is the current one and use these events in the model to see how
well the rest are predicted.
- Robustesse en fonction de l'espace :
Partager la région d'étude en plusieurs sous-régions ne se chevauchant pas.
Pour dresser une carte de prévision pour chaque sous-région, n'utiliser QUE les
données extérieures à la sous-région en cause. Assembler ensuite en mosaïque les
cartes de prévision (une pour chaque sous-région). Comparer la mosaïque cartographique
de prévision aux occurrences de glissements de terrain passés.
- Aléatoire
Séparer les occurrences de manière aléatoire en deux groupes - groupe 1 et groupe 2.
Dresser une carte de prévision d'après le groupe 1 SEULEMENT, puis valider les résultats
d'après les occurrences du groupe 2. Répéter la procédure dans l'ordre inverse.
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