• Qu'est-ce qu'un modèle prédictif?

  Définition : Identifier ou délimiter les zones sensibles :

  • futurs glissements de terrain
  • habitat d'espèces animales menacées
  • aquifères
  • "bonnes" zones industrielles

  Le temps n'est PAS ici pris en compte.

• Motivation - Pourquoi et quand utiliser les modèles?
  • Peut-on permettre à un spécialiste d'identifier directement et à un coût raisonnable les zones sensibles aux futurs glissements de terrain?
    • Oui! Alors, ON LE FAIT (sans modèle prédictif)
    • Non! Les modèles prédictifs peuvent être utiles

  • Supposons que la réponse soit NON?

    Les géomorphologues ne peuvent identifier directement et à un coût raisonnable ces zones sensibles.

  • Les géomorphologues peuvent-ils déterminer à un coût raisonnable les facteurs indirects mais causaux?
    • Non! Il n'y a donc PLUS D'ESPOIR (probablement)
    • Oui! Les modèles prédictifs jouent alors un rôle critique

• Procédures - Que faire?
  • Cadre mathématique

• Estimation des paramètres dans les cadres
  • Validation des résultats
  Compréhension des données - Exploration des données

• Exemples - Cela fonctionne-t-il vraiment?

• Conclusions

1972: Agterberg, F.P. et al., Prediction models for locating undiscovered copper deposits.

1977-1980: Chung C.F.,

Développement du SIMSAG (système graphique interactif), Terminal CDC 6400 + Tektronix 4014, nombre maximum de pixels : 100 x 100 (en pratique)

1990: Agterberg, F.P. and Bonham-Carter G.F. (eds.), GSC paper 89-9, Statistical Applications in the Earth Sciences

1992 - 1997: Spatial Data Analysis Laboratory. Développement du Système d'intégration de données spatiales SGI, Windows NT/95/98/3.1, nombre maximum de pixels : 4000 x 4000 (en pratique)

À chaque pixel, p :

en supposant que les facteurs causaux en p constituent la fonction de probabilité conditionnelle conjointe

"sûreté" : probabilité, certitude, croyance, plausibilité, possibilité ...

Les cadres mathématiques

Les trois cadres mathématiques sur lesquels s'appuient les modèles sont les suivants :

1. Théorie des probabilités
   • Probabilité conditionnelle conjointe

     Mesure de la "sûreté" de la proposition T_p: (p sera touché par un futur glissement de terrain de type D), en supposant que les facteurs causaux) is true, given the m causal factors (v_k(p)=1 . . . m) is assumed to be the joint conditional probability function en p constituent la fonction de probabilité conditionnelle conjointe

     f(F_p|c₁,c₂,...,c_m) = Prob(F_p|c₁,c₂,...,c_m)
     représente le risque en p, en tenant compte de l'information au niveau du pixel pour
     p:(c₁, c₂,...,c_m)

     F: la superficie inconnue qui sera touchée par de futurs glissements de terrain

     Θ: l'ensemble des pixels pour lesquels les valeurs sont (c₁, c₂,...,c_m)

     Probabilité à priori : représentant le risque en p si aucune information au niveau du pixel n'est disponible en p

     (taille de (F∩A) /taille de A)
     où A représente l'ensemble de la région d'étude.

     Le pixel p présente un risque :
     Prob{F_p|c₁,c₂,...,c_m} >> Prob{F_p}

     Le pixel p ne présente aucun risque :
     Prob{F_p|c₁,c₂,...,c_m} << Prob{F_p}

   • Le rapport des vraisemblances

     Le rapport des vraisemblances en pest défini comme suit :

     λ =Prob{c₁,c₂,...,c_m|F_p}/ Prob{c₁,c₂,...,c_m|notF_p} =1-Prob{F_p} / Prob{F_p} * Prob{F_p|c₁,c₂,...,c_m}/ 1- Prob{F_p|c₁,c₂,...,c_m}

   • Monotone functions of the likelihood ratio function
     • La fonction de pondération de l'information probante

       model par Peirce (1878) et Good (1950,1960, and 1976) (voir aussi Spiegelhalter, 1986; Agterber et al, 1990; Bonham_Carter et al. 1989).

       WoE{F_p|c₁,c₂,...,c_m} = log_eλ

     • la fonction du facteur de certitude

       model par Shortliffe and Buchanan (1975:MYCIN), Heckerman (1986), Pearl(1988) et Chung and Fabbri (1990)

       CF{F_p|c₁,c₂,...,c_m} = λ -1 / λ -1

     • Comparaison des fonctions en deux pixels :

       Soit (c₁, c₂,...,c_m) les m valeurs de pixel en p

       Soit (c₁, c₂,...,c_m) les m valeurs de pixel en q

       If Prob{F_p} <=Prob{F_q} Then λ(p)<=λ(p)

       Le "risque" relatif pour les pixels est le même quelles que soient les mesures utilisées pour l'étude.

2. Théorie de l'information probante de Dempster-Shafer
   • les fonctions du croyance and de la plausibilté

3. Théorie des ensembles flous de Zadeh
   • La fonction d'appartenance floue

S_p: "p a par le passé été touché par un glissement de terrain d'un type donné"

Prob{S_p|c₁,c₂,...,c_m}= taille de S _Θ / taille de Θ

Prob{S_p}=taille de S / taille de A
où Sreprésente les zones touchées par des glissements passés.

Prob(F_p|c₁,c₂,...,c_m) = Prob(S_p|c₁,c₂,...,c_m)

λ_D = Prob{c₁,c₂,...,c_m|S_p} / Prob{c₁,c₂,...,c_m|notS_p} =1-Prob{S_p} / Prob{S_p} * Prob{S_p|c₁,c₂,...,c_m} / 1- Prob{S_p|c₁,c₂,...,c_m}

CF_D{F_p|c₁,c₂,...,c_m} =λ -1 / λ -1

WoE_D{F_p|c₁,c₂,...,c_m} = log_eλ

L'ordre est conservé. Les estimateurs sont simples à calculer et n'exigent aucune hypothèse mathématique. Ils aboutissent à un échec lamentable comme agents de prédiction de l'occurrence de futurs glissements. Ils ne devraient être calculés qu'à titre de repères pour le rendement des données spatiales utilisées comme facteurs causaux des glissements.

Prob{F_p|c₁,c₂,...,c_m}= Prob{F_p}Prob{c₁,c₂,...,c_m|F_p} / Prob{c₁,c₂,...,c_m}

Hypothèse de l'indépendance conditionnelle pour une F_p donnée

Prob{c₁,c₂,...,c_m|F_p} =Prob{c₁|F_p}Prob{c₂|F_p} ...Prob{c_m|F_p}

Prob{F_p|c₁,c₂,...,c_m} =(Prob{c₁|F_p}...Prob{c_m|F_p} / Prob{F_p|c₁,c₂,...,c_m})

Prob{F}(Prob{F_p|c₁} / Prob{F})... (Prob{F_p|c_m} / Prob{F})

Prob{c₁,c₂,...,c_m}= taille de Θ / taille de A,

Prob{c_k}= taille de A_kck / taille de A,

Prob{F_p|c_k} = taille de F ∩ taille de A_kck / taille de A,

Prob{S_p|c_k} =taille deS∩ taille de A_kck / taille de A,

Prob{S_p} =taille deS / taille de A

Estimation bayésienne en chacun des pixels p:

Prob{F_p|c₁,c₂,...,c_m} =(Prob{c₁|S_p}...Prob{c_m|S_p} / Prob{S_p|c₁,c₂,...,c_m}) Prob{S}(Prob{S_p|c₁} / Prob{S_p})... (Prob{S_p|c_m} / Prob{S_p})

Le rapport des vraisemblances devient :

λ = λ₁ ... λ_m

λ₁ =Prob{c₁|F_p} / Prob{c₁|notF_p}
=Prob{F_p|c₁}(1-Prob{F_p} / Prob{F_p}(1-Prob{F_p|c₁}

λ^' = λ^'₁ ... λ^'_m

λ^'_k =Prob{c_k|S_p} / Prob{c_k|notS_p}
=Prob{S_p|c_k}(1-Prob{S_p} / Prob{S_p}(1-Prob{S_p|c_k}

CF₂={F_p|c₁,c₂,...,c_m}=(λ' - 1) / (λ' + 1)

WOE₂={F_p|c₁,c₂,...,c_m}=log_eλ'

L'avantage de cet estimateur est qu'il ne dépend que des probabilités conditionnelles à deux variables de l'occurrence de glissements de terrain passés pour des valeurs de pixel données en chaque couche séparément. Le prix à payer pour cet avantage est cependant l'hypothèse de l'indépendance conditionnelle.

• Robustesse en fonction du temps

  Séparer les occurrences en deux intervalles - "passé" et "futur", élaborer le modèle prédictif à l'aide des occurrences de tremblements de terre "passés", puis valider les résultats d'après les occurrences "futures".

  We select a year so that approximately half the events occur during or before it. We pretend that year is the current one and use these events in the model to see how well the rest are predicted.

• Robustesse en fonction de l'espace :

  Partager la région d'étude en plusieurs sous-régions ne se chevauchant pas. Pour dresser une carte de prévision pour chaque sous-région, n'utiliser QUE les données extérieures à la sous-région en cause. Assembler ensuite en mosaïque les cartes de prévision (une pour chaque sous-région). Comparer la mosaïque cartographique de prévision aux occurrences de glissements de terrain passés.

  
  

• Aléatoire

  Séparer les occurrences de manière aléatoire en deux groupes - groupe 1 et groupe 2. Dresser une carte de prévision d'après le groupe 1 SEULEMENT, puis valider les résultats d'après les occurrences du groupe 2. Répéter la procédure dans l'ordre inverse.